CÁC DẠNG BÀI TẬP NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHỌN LỌC, CÓ ĐÁP ÁN

     

Cho hàm số y = f liên tục trên đoạn . Giả sử hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn ; hàm số y = f(u) liên tục sao cho hàm hợp f xác định. Khi đó, ta có:

*

Dấu hiệu nhận biết và cách tính tích phân

*
*

2. Đổi biến dạng 2

Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên đoạn .


Bạn đang xem: Các dạng bài tập nguyên hàm, tích phân và ứng dụng chọn lọc, có đáp án


Xem thêm: Minh Mới Bị Nứt Cổ Gà Có Nên Dùng Máy Hút Sữa Bị Nứt Cổ Gà, Nứt Cổ Gà Và Các Vấn Đề Liên Quan Mẹ Cần Biết



Xem thêm: Ý Nghĩa Lối Sống Giản Dị - Giản Gị Có Ý Nghĩa Như Thế Nào Trong Cuộc Sống

Giả sử hàm số x = φ(t) có đạo hàm và liên tục trên đoạn <α;β> sao cho φ(α) = a; φ(β) = b và a ≤ φ(t) ≤ b với mọi t ∈ <α;β>. Khi đó:


*

Một số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng:

*

 

Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt này khi các dấu hiệu 1, 2, 3 đi với x mũ chẵn. Ví dụ, để tính tích phân 

*

 

thì phải đổi biến dạng 2 còn với tích phân 

*

thì nên đổi biến dạng 1.

Bài tập 1: tính các tích phân sau

*

Lời giải : Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1

*

Bài tập 2: tính các tích phân sau

*

Lời giải : Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 2

*
*

II. Phương pháp tích phân từng phần

Bài toán : tính tích phân

*

Lời giải: 

*

Khi đó 

*

( công thức tích phân từng phần )

 

Chú ý: Cần phải lựa chọn u và dv hợp lý sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân 

*

dễ tính hơn 

*

1. Áp dụng công thức trên ta có cách tính tích phân từng phần như sau: 

- Bước 1: Viết f(x)dx dưới dạng udv = uv"dx bằng cách chọn một phần thích hợp của f(x) làm u(x) và phần còn lại dv = v"(x)dx. 

- Bước 2: Tính du = u"dx và v = ∫dv = ∫v"(x)dx 

- Bước 3: Tính 

*

> Lưu ý: Phương pháp tích phân từng phần thường được vận dụng khi hàm dưới dấu tích phân là tích của hai loại hàm số khác nhau (đa thức - logarit, đa thức - lượng giác, lượng giác - hàm mũ,...).