Bất Đẳng Thức Và Chứng Minh Bất Đắng Thức

     



Bạn đang xem: Bất đẳng thức và chứng minh bất đắng thức

*
32 trang
*
trường đạt
*
*
3682
*
2Download


Xem thêm: 36 Lời Chúc Giáng Sinh Cho Bạn Bè Ngắn Gọn Mà Thân Thiết, Ý Nghĩa

Bạn đang xem 20 trang mẫu mã của tư liệu "19 cách thức chứng minh Bất đẳng thức", để thiết lập tài liệu cội về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ngơi nghỉ trên


Xem thêm: Chuyển Ảnh Từ Album Này Sang Album Khác Trên Facebook, Access Denied

PHẦN 1CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý1/Định nghĩa 2/Tính chất+ A>B + A>B và B >C + A>B A+C >B + C + A>B và C > D A+C > B + D + A>B cùng C > 0 A.C > B.C + A>B cùng C B > 0 A > B + A > B A > B cùng với n lẻ + > A > B với n chẵn + m > n > 0 cùng A > 1 A >A + m > n > 0 với 0 0)+ ( dấu = xẩy ra khi A.B B. Ta lập hiệu A –B > 0 xem xét dùng hằng bất đẳng thức M 0 với" MVí dụ 1 " x, y, z chứng minh rằng : a) x + y + z xy+ yz + zx b) x + y + z 2xy – 2xz + 2yz c) x + y + z+3 2 (x + y + z)Giải:a) Ta xét hiệu : x + y + z- xy – yz – zx =.2 .( x + y + z- xy – yz – zx)=đúng với đa số x;y;z bởi (x-y)2 0 với"x ; y dấu bằng xảy ra khi x=y (x-z)2 0 với"x ; z vệt bằng xẩy ra khi x=z (y-z)2 0 với" z; y vệt bằng xẩy ra khi z=y Vậy x + y + z xy+ yz + zx.Dấu bằng xảy ra khi x = y =zb)Ta xét hiệu: x + y + z- ( 2xy – 2xz +2yz ) = x + y + z- 2xy +2xz –2yz= ( x – y + z) đúng với đa số x;y;zVậy x + y + z 2xy – 2xz + 2yz đúng với đa số x;y;zDấu bằng xẩy ra khi x+y=zc) Ta xét hiệu: x + y + z+3 – 2( x+ y +z ) = x- 2x + 1 + y -2y +1 + z-2z +1= (x-1)+ (y-1) +(z-1) 0. Dấu(=)xảy ra lúc x=y=z=1Ví dụ 2: minh chứng rằng :a) ; b) c) Hãy tổng quát bài toánGiải:a) Ta xét hiệu = = = Vậy .Dấu bằng xẩy ra khi a=bb)Ta xét hiệu =.VậyDấu bằng xẩy ra khi a = b =cc)Tổng quátTóm lại các bước để chứng minh AB theo định nghĩaBước 1: Ta xét hiệu H = A - BBước 2:Biến đổi H=(C+D)hoặc H=(C+D)+.+(E+F)Bước 3:Kết luận A ³ BVí dụ 1: chứng tỏ "m,n,p,q ta đều có : m+ n+ p+ q+1³ m(n+p+q+1) Giải: (luôn đúng)Dấu bằng xẩy ra khi lấy ví dụ 2: chứng tỏ rằng với đa số a, b, c ta luôn có :Giải: Ta bao gồm : , Đúng với tất cả a, b, c.Phương pháp 2 : dùng phép biến đổi tương đươngKiến thức: Ta chuyển đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã được minh chứng là đúng.Nếu A 1 x.y.z>1 mâu thuẫn gt x.y.z=1 yêu cầu phải xẩy ra trường phù hợp trên có nghĩa là có đúng một trong ba số x ,y ,z là số lớn hơn 1Ví dụ 5: chứng tỏ rằng : Giải:Ta gồm : tương tự ta bao gồm :,Cộng vế theo vế những bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được : (*)Ta tất cả : tựa như : , cộng vế theo vế các bất đẳng thức (4), (5), (6), ta được : (**)Từ (*) cùng (**) , ta được : (đpcm)Phương pháp 3: dùng bất đẳng thức phụKiến thức: a) b) dấu( = ) lúc x = y = 0 c) d)Ví dụ 1 mang lại a, b ,c là các số không âm chứng minh rằng (a+b)(b+c)(c+a)8abcGiải: dùng bất đẳng thức phụ: Tacó ; ; (a+b)(b+c)(c+a)8abc vệt “=” xẩy ra khi a = b = c phương thức 4:Bất đẳng thức Cô sy con kiến thức: a/ Với nhì số ko âm : , ta có: . Vệt “=” xẩy ra khi a=bb/ Bất đẳng thức không ngừng mở rộng cho n số ko âm :Dấu “=” xảy ra khi chăm chú : ta cần sử dụng bất đẳng thức Côsi lúc đề cho trở thành số ko âm.Ví dụ 1 : Giải phương trình :Giải : nếu để t =2x thì pt thay đổi pt bậc 6 theo t đề nghị ta đặt khi ấy phương trình bao gồm dạng :Vế trái của phương trình:Vậy phương trình tương đương với : .Ví dụ 2 : mang lại x, y , z > 0 cùng x + y + z = 1. Search GTLN của phường =Giải : phường = 3- () = 3 – Q. Theo BDT Côsi , nếu a, b, c > 0 thì Suy ra Q = -Q nên p = 3 – Q 3-=Vậy max phường = .khi x = y = z = .Ví dụ 3: mang đến a, b, c >0 . Chứng tỏ rằng: Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :Tương từ :Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.Ví dụ 4 : CMR trong tam giác ABC : (*)Giải : Theo bất đẳng thức Côsi :Cũng theo bất đẳng thức Côsi :Viết tiếp hai BDT giống như (2) rồi nhân với nhau sẽ được Từ (1),(3) suy ra (*). Vết “=” xẩy ra khi a = b = c hay ABC là đều .Ví dụ 5:Cho . Chứng tỏ rằng: Giải: Đặt tất cả 2 nghiệm a,cMà:Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: phương thức 5 Bất đẳng thức BunhiacopskiKiến thức:Cho 2n số thực (): . Ta luôn luôn có:Dấu “=” xảy ra khi tuyệt (Quy ước : nếu chủng loại = 0 thì tử = 0 )Chứng minh:Đặt ví như a = 0 giỏi b = 0: Bất đẳng thức luôn luôn đúng.Nếu a,b > 0:Đặt: , nắm thì: mặt khác: Suy ra: Lại có: Suy ra: Dấu”=” xảy ra Ví dụ 1 :Chứng minh rằng: , ta có: Giải: Ta có: Theo bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski một lần nữa:Ví dụ 2: đến tam giác ABC có những góc A,B,C nhọn. Tra cứu GTLN của:Giải:* Bất đẳng thức Bunhiacopski mở rộngCho m bộ số, mỗi cỗ số có n số không âm: cố thì: Dấu”=” xẩy ra bô số (a,b,.,c) sao cho: với từng i = 1,2,,m thì sao cho: , tốt Ví dụ 1: Cho minh chứng rằng: Giải: ta có: cho nên theo bất đẳng thức Bunhiacopski:(đpcm)Ví dụ 2: mang lại 4 số a,b,c,d ngẫu nhiên chứng minh rằng: Giải: cần sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski: Tacó ac+bdmà ví dụ 3: chứng tỏ rằng : Giải: cần sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski biện pháp 1: Xét cặp số (1,1,1) và (a,b,c) ta có 3 Điều phải chứng tỏ Dấu bằng xẩy ra khi a=b=cPhương pháp 6: Bất đẳng thức Trê- bư-sépKiến thức:a)Nếu thì .Dấu ‘=’ xẩy ra khi và chỉ khib)Nếu thìDấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ còn khiVí dụ 1: mang lại ABC có 3 góc nhọn nội tiếp con đường tròn bán kính R = 1 với S là diện tích tan giác. Chứng minh rằng ABC là tam giác đều.Giải: Không bớt tính tổng thể ta trả sư Suy ra:Áp dụng BĐT trebusep ta được:Dấu ‘=’ xảy raMặt khác:Thay (2) vào (1) ta cóDấu ‘=’ xẩy ra ABC đều. Ví dụ 2(HS tự giải): a/Cho a,b,c>0 cùng a+b+c=1 CMR: b/Cho x,y,z>0 cùng x+y+z=1 CMR:x+2y+z c/Cho a>0 , b>0, c>0 CMR: d)Cho x,y thỏa mãn nhu cầu ;CMR: x+y lấy ví dụ 3: mang lại a>b>c>0 cùng . Chứng minh rằngGiải: vì a,b,c đối xứng ,giả sử abc Áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta có ==Vậy lốt bằng xảy ra khi a=b=c=Ví dụ 4: đến a,b,c,d>0 và abcd =1 .Chứng minh rằng :Giải: Ta tất cả Do abcd =1 phải cd = (dùng )Ta gồm (1) khía cạnh khác: = (ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad) =VậyPhương pháp7 Bất đẳng thức BernouliKiến thức:a)Dạng nguyên thủy: cho a-1, Z thì . Lốt ‘=’ xẩy ra khi và chỉ còn khi b) Dạng mở rộng: - cho a > -1, thì . Vết bằng xảy ra khi và chỉ khi a = 0.- cho thì . Vết bằng xẩy ra khi va chỉ khi.Ví dụ 1 : minh chứng rằng .GiảiNếu tuyệt thì BĐT luôn luôn đúngNếu 0 0.Chứng minh rằng . (1)GiảiÁp dụng BĐT Bernouli: (2)Chứng minh tựa như ta đuợc: (3) (4)Cộng (2) (3) (4) vế theo vế ta có(đpcm)Chú ý: ta có câu hỏi tổng quát sau đây:“Cho minh chứng rằng .Dấu ‘=’ .(chứng minh giống như bài trên).Ví dụ 3: mang đến . Minh chứng rằng .GiảiĐặt .Chứng minh tương tự:Cộng (1) (2) (3) vế theo vế ta đượcChú ý: việc tổng quát tháo dạng này“ mang lại n số Ta luôn luôn có:Ph ương pháp 8: Sử dụng tính chất bắc cầuKiến thức: A>B cùng B>C thì A>CVí dụ 1: cho a, b, c ,d >0 thỏa mãn nhu cầu a> c+d , b>c+d minh chứng rằng ab >ad+bc Giải:Tacó (a-c)(b-d) > cd ab-ad-bc+cd >cd ab> ad+bc (điều nên chứng minh)Ví dụ 2: mang lại a,b,c>0 thỏa mãn nhu cầu . Chứng tỏ Giải: Ta gồm :( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab –ac – bc) 0 ac+bc-ab ( a2+b2+c2) ac+bc-ab 1 phân tách hai vế đến abc > 0 ta bao gồm Ví dụ 3: mang đến 0 1-a-b-c-dGiải: Ta có (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab vì a>0 , b>0 cần ab>0 (1-a).(1-b) > 1-a-b (1) bởi c 0 ta bao gồm (1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d) =1-a-b-c-d+ad+bd+cd (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d (Điều yêu cầu chứng minh)Ví dụ 4: mang đến 0 0 1+ > + bmà 0 , > từ (1) với (2) 1+> +. Vậy + 0 thì từ ` ví dụ như 1: mang đến a,b,c,d > 0 .Chứng minh rằng Giải: Theo đặc điểm của tỉ lệ thành phần thức ta bao gồm (1) mặt khác : (2) trường đoản cú (1) với (2) ta bao gồm 1 chứng tỏ rằng Giải: Ta bao gồm với k = 1,2,3,,n-1 vày đó: ví dụ 2: chứng minh rằng: với n là số ng ... 1 . Ta nên chứng minh: Ta có: (Vì )Bất đẳng thức đúng cùng với n= k+1Vậy theo nguyên tắc quy nạp: ví dụ như 5: mang lại , . Chứng minh rằng: Giải n=1: Bất đẳng thức luôn đúngn=k ():giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: n= k+1 . Ta phải chứng minh: (1)Thật vậy: + Vậy (1) được chứng minhVí dụ 6: đến , . Minh chứng rằng: Giải:n=1: Bất đẳng thức luôn đúngn=k ():giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: n= k+1 . Ta phải chứng minh: (1)Đặt: Vậy (1) đựơc triệu chứng minhVí dụ 7: chứng tỏ rằng: Giải: n=2 n=k: trả sử bất đẳng thức đúng, tức là: n= k+1:Ta c ó: (vì ) Bất đẳng thức đúng với n= k+1Vậy lấy ví dụ 8: minh chứng rằng: Giải: n=1: Bất đẳng thức luôn đúngn=k :giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: n= k+1 . Ta bắt buộc chứng minh: Ta có: Nên: Bất đẳng thức đúng với n= k+1. Vậy: +Ph ương pháp 16: chứng tỏ phản chứng kiến thức: 1) đưa sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy trả sử bất đẳng thức đó sai với kết phù hợp với các mang thiết nhằm suy ra điều vô lý , điều vô lý có thể là điều trái với trả thiết , có thể là điều trái ngược nhau .Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng tỏ là đúng 2) mang sử ta phải chứng minh luận đề “p q”Muốn chứng tỏ (với : trả thiết đúng, : kết luận đúng) phép minh chứng được thực hiên như sau:Giả sử không tồn tại ( hoặc sai) suy ra điều vô lý hoặc sai. Vậy phải gồm (hay đúng)Như vậy để bao phủ định luận đề ta ghép tất cả giả thiết của luận đề với phủ định tóm lại của nó . Ta thường dùng 5 hình thức chứng minh phản bệnh sau : A - dùng mệnh đề phản đảo : “P Q” B – che định rôi suy trái trả thiết C – phủ định rồi suy trái với điều đúng D – lấp định rồi suy ra 2 điều trái ngược nhau E – bao phủ định rồi suy ra tóm lại :Ví dụ 1: Cho ba số a,b,c thỏa mãn a +b+c > 0 , ab+bc+ac > 0 , abc > 0 chứng tỏ rằng a > 0 , b > 0 , c > 0 Giải: giả sử a 0 thì từ bỏ abc > 0 a 0 cho nên a 0 với a 0 a(b+c) > -bc > 0 vày a 0 b + c 0 giống như ta có b > 0 , c > 0Ví dụ 2:Cho 4 số a , b , c ,d thỏa mãn điều kiện ac 2.(b+d) .Chứng minh rằng có ít nhất một trong những bất đẳng thức sau là sai: , Giải: đưa sử 2 bất đẳng thức : , đều đúng vào khi đó cộng những vế ta được (1) Theo mang thiết ta tất cả 4(b+d) 2ac (2) từ (1) với (2) tốt (vô lý) Vậy vào 2 bất đẳng thức với có ít nhất một các bất đẳng thức saiVí dụ 3:Cho x,y,z > 0 cùng xyz = 1. Minh chứng rằng nếu như x+y+z > thì có 1 trong những ba số này to hơn 1 Giải :Ta tất cả (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1 =x + y + z – () vày xyz = theo giả thiết x+y +z > cần (x-1).(y-1).(z-1) > 0 Trong ba số x-1 , y-1 , z-1 chỉ có một vài dương thiệt vậy nếu cả bố số dương thì x,y,z > 1 xyz > 1 (trái giả thiết) Còn ví như 2 vào 3 số đó dương thì (x-1).(y-1).(z-1) ab+bc+acGiải: Ta xét hiệu: b2+c2- ab- bc – ac = b2+c2- ab- bc – ac= ( b2+c2- ab– ac+ 2bc) +3bc =(-b- c)2 +=(-b- c)2 +>0 (vì abc=1 cùng a3 > 36 đề nghị a >0 )Vậy : b2+c2> ab+bc+ac Điều phải chứng minh2) chứng minh rằng a) b) với đa số số thực a , b, c ta bao gồm c) Giải: a) Xét hiệu: = = HH0 ta tất cả điều phải chứng minh b) Vế trái rất có thể viết H = H > 0 ta bao gồm đpcm c) vế trái rất có thể viết H = H 0 ta tất cả điều yêu cầu chứng minh* Dùng biến đổi tương đương 1) mang đến x > y và xy =1 .Chứng minh rằng Giải: Ta bao gồm (vì xy = 1) vì vậy BĐT cần chứng tỏ tương đương cùng với BĐT cuối đúng đề xuất ta tất cả điều nên chứng minh2) cho xy 1 .Chứng minh rằng Giải: Ta gồm BĐT cuối này đúng vì chưng xy > 1 .Vậy ta tất cả đpcm* dùng bất đẳng thức phụ1) mang đến a , b, c là những số thực với a + b +c =1 chứng tỏ rằng Giải: áp dụng BĐT BunhiaCôpski cho 3 số (1,1,1) với (a,b,c) Ta tất cả (vì a+b+c =1 ) (đpcm) 2) mang lại a,b,c là những số dương . Minh chứng rằng (1)Giải: (1) áp dụng BĐT phụ với x,y > 0. Ta bao gồm BĐT sau cuối luôn đúng Vậy (đpcm)* Dùng phương pháp bắc ước 1) đến 0 0 .Cminh rằng: Giải: vị a ,b ,c ,d > 0 phải ta bao gồm (1) (2) (3) Cộng những vế của 4 bất đẳng thức bên trên ta gồm : (đpcm) 2) mang đến a ,b,c là số đo bố cạnh tam giác minh chứng rằng : Giải: do a ,b ,c là số đo tía cạnh của tam giác phải ta tất cả a,b,c > 0 cùng a 0 với x+y+z =1 Giải: do x,y,z > 0 ,áp dụng BĐT Côsi ta có x+ y + z vận dụng bất đẳng thức Côsi mang lại x+y ; y+z ; x+z ta gồm Dấu bằng xẩy ra khi x=y=z= Vậy S . Vậy S có mức giá trị lớn số 1 là khi x=y=z= ví dụ 3: cho xy+yz+zx = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của Giải: Áp dụng BĐT Bunhiacốpski mang lại 6 số (x,y,z) ;(x,y,z) Ta tất cả (1) Áp dụng BĐT Bunhiacốpski đến () và (1,1,1)Ta tất cả Từ (1) cùng (2) Vậy có mức giá trị nhỏ dại nhất là lúc x=y=z= ví dụ như 4 : vào tam giác vuông có cùng cạnh huyền , tam giác vuông làm sao có diện tích s lớn duy nhất Giải: gọi cạnh huyền của tam giác là 2a Đường cao thuộc cạnh huyền là h Hình chiếu các cạnh góc vuông lên cạnh huyền là x,y Ta bao gồm S = vày a không đổi mà lại x+y = 2a. Vậy S lớn nhất khi x.y lớn nhất Vậy trong các tam giác tất cả cùng cạnh huyền thì tam giác vuông cân nặng có diện tích s lớn độc nhất 2/ sử dụng Bất đẳng thức nhằm giải phương trình cùng hệ phương trình ví dụ như 1:Giải phương trình: Giải : Ta có Vậy dấu ( = ) xẩy ra khi x+1 = 0 x = -1 Vậy lúc x = -1 Vậy phương trình gồm nghiệm độc nhất x = -1 ví dụ 2: Giải phương trình Giải : áp dụng BĐT BunhiaCốpski ta bao gồm : lốt (=) xảy ra khi x = 1 mặt khác lốt (=) xảy ra khi y = - Vậy lúc x =1 với y =- Vậy nghiệm của phương trình là ví dụ như 3:Giải hệ phương trình sau: Giải: vận dụng BĐT Côsi ta bao gồm Vì x+y+z = 1) cần Dấu (=) xảy ra khi x = y = z = Vậy tất cả nghiệm x = y = z = ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau từ bỏ phương trình (1) xuất xắc Từ phương trình (2) ví như x = thì y = 2 giả dụ x = - thì y = -2 Vậy hệ phương trình tất cả nghiệm cùng 3/ cần sử dụng BĐT nhằm giải phương trình nghiệm nguyên lấy ví dụ như 1: Tìm những số nguyên x,y,z vừa ý Giải:Vì x,y,z là các số nguyên cần (*) Mà những số x,y,z nên tìm là ví dụ 2: search nghiệm nguyên dương của phương trình Giải: không mất tính tổng quát ta mang sử Ta gồm Mà z nguyên dương vậy z = 1. Cầm z = 1 vào phương trình ta được Theo giả sử xy buộc phải 1 = nhưng y nguyên dương yêu cầu y = 1 hoặc y = 2 cùng với y = 1 ko thích phù hợp với y = 2 ta gồm x = 2 Vậy (2 ,2,1) là một trong nghiệm của phương trình Hoán vị những số bên trên ta được những nghiệm của phương trình là (2,2,1);(2,1,2); (1,2,2)Ví dụ 3:Tìm những cặp số nguyên chấp nhận phương trình (*) Giải: (*) cùng với x 0 , y > 0 Ta có Đặt (k nguyên dương do x nguyên dương ) Ta tất cả Nhưng nhưng giữa k với k+1 là nhị số nguyên dương liên tiếp không tồn tại một số trong những nguyên dương làm sao cả Nên không có cặp số nguyên dương nào chấp thuận phương trình . Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là : bài bác tập đề xuất :Bài 1:Chứng minh rằng với đa số a,b,c > 0 : HD : gửi vế quy đồng mẫu mang đến tổng bình phương các đẳng thức.Bài 2:Chứng minh bất đẳng thức : HD: bài 3: mang lại a, b. C > 0 với a + b + c 1. Cmr : HD : Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho bài xích 4 : cho . Cmr :HD : Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho , rồi cộng hai vế theo vế.Bài 5: mang lại a, b >1. Kiếm tìm GTNN của S = HD : Áp dụng bất đẳng thức Côsi mang đến và xét ngôi trường hợp lốt “=” xẩy ra .Bài 9 : tìm GTLN cùng GTNN của y = HD: Đặt x= bài bác 10: đến 36xCmr : HD: Đặt : bài xích 11: Cmr : HD : Đặt x = bài xích 12: mang đến . Minh chứng rằng: bài bác 13: cho ABC có a, b, c là độ dài những cạnh. Chứng tỏ rằng: bài 14: mang lại . Minh chứng rằng bài bác 15: . Chứng minh rằng: bài xích 16: có tồn vì sao cho: ?Bài 17: cho ABC có diện tích s bằng 4 (đơn vị diện tích). Trên những cạnh BC, CA, AB mang lần lược những điểm A’, B’, C’. Chứng minh rằng: Trong toàn bộ các tam giác AB’C’, A’BC’, A’B’C có tối thiểu 1 diện tích bé dại hơn hay bằng 1(đơn vị diện tích)