Công thức tính momen quán tính của tiết diện

     

Toán học cùng vật lý, sở hữu lẽ là nhị ngành khoa học mang liên quan chặt chẽ nhất cùng với nhau. Vị vậy, công dụng của một trong những chúng được thực hiện để cải cách và phát triển khác. Trong số những ví dụ sáng phản ảnh sự liên can của bọn chúng là đo lường và tính toán mômen quán tính của hình chữ nhật so với trục.

Bạn đang xem: Công thức tính momen quán tính của tiết diện


Vào thời khắc tiệm tính trong toán học cùng vật lý

Nhiều người thân trong gia đình thuộc với đồ dùng lý hoặc toán học có lẽ đang nghe về khái niệm này. Tuy nhiên, đáng để gọi nó yếu tố hơn nhằm ko mang sự nhầm lẫn.

Trong vật dụng lý, mô males tiệm tính được gọi là công dụng của một hệ quay, diễn tả những đặc thù quán tính của thân thể. Ví dụ, so với một điểm mang trọng lượng m, tạo thành vận động tròn xung quanh một trục ở ở khoảng cách r tự nó, đại lượng này được biểu hiện bằng công thức:

I = m * r 2 .

Rõ ràng là nó được mô tả bằng kilogam trên mét vuông.

*

Trong toán học, mô males tiệm tính là một trong thứ hoàn toàn khác, được tính toán ko tương quan tới một đồ dùng thể tía chiều, mà liên quan tới một trang bị thể hoặc phương diện phẳng. Nói chung, bọn họ mang thể nói về thời khắc tiệm tính của riêng biệt tự sản phẩm n. Trong bài viết này, lúc đo lường và thống kê mômen cửa hàng tính của hình chữ nhật, bọn họ sẽ bàn thảo về độ to lớn của bậc hai.

Khoảnh khắc quán tính thứ hai cho phần

*

Nó là cấp thiết để thực hiện xây dựng toán học tập của giá chỉ trị được coi như xét. Vì chưng vậy, trong toán học, nó xuất hiện như có mang sau:

I o = A (r 2 * dA).

Ở đây, I o là mômen quán tính bậc hai, được xem tương đối với trục O; A là khoanh vùng ngành nhưng giá trị của I o được xác định; da là phần tử hình vuông ngành nằm ở khoảng cách r tự trục O.

Công thức này cho thấy thêm kích thước I o là 1 trong những đơn vị khoảng cách ở cường độ thứ tư (m 4 ), khác nhau nó với thời khắc cửa hàng tính của thân thể trong trang bị lý (xem đoạn trên).

Vì sao tính quý giá của I o ? tất nhiên, đây ko phải là 1 trong vấn đề toán học tập thuần túy, ko mang cam kết tự ứng dụng. Thời khắc tiệm tính I o đối với những phần có hình dạng không giống nhau là cần thiết lúc giám sát ứng suất uốn một trong những kết cấu kỹ thuật, ví dụ, so với dầm.

*

Sau đây là những đo lường và tính toán cho mômen cửa hàng tính dọc trục của hình chữ nhật tại hồ hết vị trí khác nhau của trục cù O so với đối tượng.

Trục đi qua tâm của hình music music với một trong những cạnh.

Đặt một hình chữ nhật được đến với form size của cạnh a cùng b. Trả sử trục O phân tách hình thành hai nửa đều nhau và music music cùng với cạnh a. Tình huống này được trình bày trong hình bên dưới đây.

Xem thêm: Cách Tìm Ước Chung Và Bội Chung Và Bội Chung, Ước Chung Lớn Nhất, Bội Chung Nhỏ Nhất

*

Đối với tình huống như vậy, tích phân kép mang thể được tính đủ đơn thuần, vì khoảng cách r của bất kỳ phần tử nào có thể tích domain authority sẽ bằng x. Trong trường hòa hợp này, việc tích đúng theo được triển khai từ cácbbb / 2 cho tới + b / 2 (trục O giao với gốc tọa độ dọc theo trục x). Đối cùng với những giới hạn tích hợp đối với y, bọn chúng mang thể được sắm cả tự -a / 2 cho tới + a / 2 (gốc tọa độ trọng tâm hình) cùng từ 0 tới a (gốc tọa độ nằm tại vị trí giữa giữa những cạnh mang độ lâu năm b). Để vững chắc, chúng ta nên sắm tùy sắm thứ hai. Sau đó, cách làm chung mang đến thời khắc cửa hàng tính của lệnh thiết bị hai sẽ được viết bên dưới dạng:

I o = 0 a ∫ -b / 2 + b / 2 (x 2 * dx * dy).

Chúng tôi tính tích phân kép theo trật tự, shop chúng tôi thay núm những số lượng giới hạn đã biết, hóa ra:

Tôi o = x 3/3 | -b / 2 + b / 2 * y | 0 a = b 3 * a / 12.

Do đó, một cách làm thu được cho mômen quán tính của một hình chữ nhật cho một trục đi qua giữa của nó music music với đông đảo cạnh có độ dài a.

Rõ ràng, ví như trục chạy music music với số đông cạnh của b, thì sẽ ko với gì thay đổi trong tính toán, kế bên những chỉ định của những mặt sẽ được hoán đổi. Đó là, bạn mang được công thức:

I o = a 3 * b / 12.

Trục chạy qua cạnh của hình chữ nhật.

Trong trường thích hợp này, tình huống hoàn toàn tương tự như trước đó đây, chỉ hiện tại trục O1 được gửi sang trong những cạnh của hình. Để đo lường và thống kê mô males tiệm tính như vậy, chỉ cần biến đổi giới hạn tích hợp dọc theo phía mê say hợp.

Để trục O1 đi qua cạnh a, thì số lượng giới hạn tích phù hợp trên x đã từ 0 tới b. Nếu khách hàng thay cầm chúng trong công thức, các bạn nhận được:

Tôi o1 = x 3/3 | 0 b * y | 0 a = b 3 * a / 3.

Theo đó, ví như trục O1 đi qua b, thì bọn họ nhận được:

I o1 = a 3 * b / 3.

Sở hữu thể thấy, sự dịch rời của trục sang cạnh của hình dẫn đến sự gia tăng thời khắc quán tính của nó lên 4 lần.

Điều đáng chú ý là những công thức cho trường hợp được xem như xét trong khúc này với thể thu được bằng định lý Steiner, với dạng tương tự như như vào trường vừa lòng tính tế bào males cửa hàng tính của thân thể trong trang bị lý:

I o1 = I o + d 2 * A.

Ở phía trên d là khoảng tầm cách giữa những trục O cùng O1. Giả dụ cả nhì trục music music với đa số cạnh a của hình thì d = b / 2 (một nửa chiều lâu năm của cạnh b của hình chữ nhật). Vày thể tích của hình chữ nhật là 1 trong * b, chúng ta nhận được:

I o1 = b 3 * a / 3 + (b / 2) 2 * a * b = b 3 * a / 12 + b 3 * a / 4 = b 3 * a / 3.

Xem thêm: Đói Có Nên Ăn Sữa Chua Lúc Đói Có Tốt Không? Cùng Khám Phá Nhé

Theo biện pháp tương tự, định lý này được vận dụng cho trục O1, music music với cạnh b, chỉ d vào trường hợp này sẽ bởi a / 2.