Giải bài tập giới hạn của dãy số

Với biện pháp giải các dạng toán về số lượng giới hạn của hàng số môn Toán lớp 11 Đại số với Giải tích gồm phương pháp giải bỏ ra tiết, bài bác tập minh họa có lời giải và bài bác tập từ luyện để giúp đỡ học sinh biết cách làm bài bác tập các dạng toán về số lượng giới hạn của dãy số lớp 11. Mời các bạn đón xem:

Giới hạn của dãy số và giải pháp giải bài xích tập - Toán lớp 11

1. Lý thuyết

a) dãy số có giới hạn 0

Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần dần tới dương vô cực, đối với mỗi số dương bé dại tùy ý cho trước, đầy đủ số hạng của dãy số tính từ lúc một số hạng nào kia trở đi, |un| nhỏ tuổi hơn số dương đó.

Bạn đang xem: Giải bài tập giới hạn của dãy số

Kí hiệu: limn→∞un=0hay lim un = 0 tốt un→0khi n→+∞.

b) dãy số có số lượng giới hạn hữu hạn

Ta nói rằng dãy số (un) có số lượng giới hạn là số thực L nếu lim (un – L) = 0

Kí hiệu: limn→∞un=Lhay lim un = L giỏi un→Lkhi n→+∞.

c) hàng số có giới hạn vô cực

Dãy số (un) có giới hạn là +∞khi n→+∞, nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Ký hiệu:limun=+∞ hoặcun→+∞  khi n→+∞ 

Dãy số (un) có giới hạn là -∞ lúc n→+∞, nếulim−un=+∞

Ký hiệu:limun=−∞ hoặc un→−∞  khi n→+∞ 

d) Một vài số lượng giới hạn đặc biệt

limun=0⇔limun=0

lim1n=0;  lim1nk=0,k>0,k∈ℕ*

limnk=+∞,k>0,k∈ℕ*

limqn=0 khi   q1+∞ khi   q>1

e) Định lý về giới hạn hữu hạn

* ví như lim un = a và lim nước ta = b với c là hằng số. Lúc ấy ta có:

lim(un + vn) = a + b

lim(un - vn) = a - b

lim(un vn) = a.b

limunvn=ab,b≠0

lim(cun ) = c.a

lim|un | = |a|

limun3=a3

Nếu un≥0với số đông n thì a≥0và limun=a.

* Định lí kẹp: Cho bố dãy số (vn); (un) và (wn):

Nếuvn≤un≤wn,  ∀n∈N*limvn=limwn=a thì lim un = a.

Hệ quả: mang đến hai hàng số (un) và (vn):

Nếu un≤vn,  ∀n∈N*limvn=0thì lim un = 0.

f) Một vài quy tắc tìm số lượng giới hạn vô cực

* nguyên tắc tìm giới hạn tích lim (unvn)

Nếu limun=L≠0,   limvn=+∞ (hay −∞). Lúc đó: lim (unvn)

* nguyên tắc tìm giới hạn thương

g) Tổng cung cấp số nhân lùi vô hạn

Xét cấp cho số nhân vô hạn u1; u1q; u1q2; … u1qn; … tất cả công bội |q| S=u1+u1q+u1q2+....=u11−q   q1

2. Các dạng toán

Dạng 1: Tính số lượng giới hạn sử dụng một vài số lượng giới hạn đặc biệt

Phương pháp giải:

Sử dụng những giới hạn sệt biệt:

limun=0⇔limun=0

lim1n=0;lim1nk=0,k>0,k∈ℕ*limnk=+∞,k>0,k∈ℕ*

limqn=0khi   q1+∞khi   q>1

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

a)lim1n2

b)lim1n2+n+3

c)lim1nn

Lời giải

Áp dụng cách làm tính số lượng giới hạn đặc biệt, ta có:

a)lim1n2=0

b)lim1n2+n+3=0

c)lim1nn=0

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

a)lim12n

b)lim54n+1

c) lim (-0,999)n

Lời giải

a) lim12n=0 vì121

b) lim54n+1=+∞ vì54>1

c) lim (-0,999)n = 0 vị |-0,999| Dạng 2: Tính giới hạn hữu hạn của phân thức

Phương pháp giải:

Trường đúng theo lũy quá của n: chia cả tử với và mẫu mang đến nk (với nk là lũy thừa với số mũ khủng nhất).

Trường hòa hợp lũy thừa mũ n: chia cả tử với mẫu mang lại lũy thừa tất cả cơ số to nhất.

Sử dụng một vài số lượng giới hạn đặc biệt:

limun=0⇔limun=0lim1n=0;lim1nk=0,k>0,k∈ℕ*limnk=+∞,k>0,k∈ℕ*limqn=0 khi   q1+∞ khi   q>1

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính những giới hạn sau

a)lim−2n3+3n2+4n4+4n3+n

b)lim−5n+4n−7n+1+4n+1

c)lim2nn+1n2+2n−3

Lời giải

a)lim−2n3+3n2+4n4+4n3+n=lim−2n3+3n2+4n4n4+4n3+nn4

=lim−2n+3n2+4n41+4n+1n3=−0+0+41+0+0=0

Vìlim2n=0, lim3n2=0, lim4n4=0, lim4n=0 và lim1n3=0.

b)lim−5n+4n−7n+1+4n+1=lim−5n−7n+1+4n−7n+1−7n+1−7n+1+4n+1−7n+1

=lim1−7.−5−7n+1−7.4−7n1+4−7n+1=1−7.0+1−7.01+0=0

Vì lim−5−7n=lim4−7n=0

c)lim2nn+1n2+2n−3=lim2nn+1n2n2+2n−3n2

=lim2n+1n21+2nn−3n2=0+01+0−0=0

Vì lim2n=0,lim1n2=0, lim2nn=0,lim3n2=0

Ví dụ 2: Tính những giới hạn sau:

Lời giải

Dạng 3: Tính giới hạn hữu hạn sử dụng cách thức liên hợp

Phương pháp giải: Sử dụng những công thức liên hợp (thường sử dụng trong những bài toán chứa căn)

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính những giới hạn sau:

Lời giải

Ví dụ 2: Tính giới hạn sau:limn3+3n23−n

Lời giải

Dạng 4: Tính số lượng giới hạn ra vô cực dạng cất đa thức hoặc căn thức

Phương pháp giải:

Rút bậc lớn nhất của nhiều thức làm nhân tử chung.

Sử dụng quy tắc số lượng giới hạn tới vô cực lim (unvn)

Nếu limun=L≠0,   limvn=+∞ (hay −∞). Lúc đó: lim (unvn)

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính những giới hạn sau:

Lời giải

Ví dụ 2: Tính những giới hạn sau

a)lim2n−n3+2n−2

b)limn2−n4n+1

Lời giải

Dạng 5: Tính số lượng giới hạn ra vô cực dạng phân thức

Phương pháp giải:

Rút bậc lớn nhất của tử và chủng loại ra làm nhân tử chung.

Sử dụng quy tắc số lượng giới hạn tới vô rất lim (unvn)

Nếu limun=L≠0,   limvn=+∞ (hay −∞). Lúc đó: lim (unvn)

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính những giới hạn sau:

a)lim2n4−3n3+2n3+2

b)lim2n−13n2+23−2n5+4n3−1

Lời giải

Ví dụ 2: Tính số lượng giới hạn sau lim3n2−2n4+3n−24n−3n2+2.

Lời giải

Dạng 6: Tính giới hạn sử dụng định lý kẹp

Phương pháp giải:

Sử dụng định lý kẹp với hệ quả của định lý kẹp

Định lí kẹp: Cho bố dãy số (vn); (un) cùng (wn): Nếuvn≤un≤wn,  ∀n∈N*limvn=limwn=a thì lim un = a

Hệ quả: mang lại hai hàng số (un) với (vn): nếu un≤vn,  ∀n∈N*limvn=0 thì lim un = 0.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

a)lim−1nn+4

b)lim−1n2n+1−13n+1

Lời giải

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

a)limsin2nn+2

b)lim1+cosn32n+3

Lời giải

Dạng 7: số lượng giới hạn dãy số bao gồm công thức truy tìm hồi

Phương pháp giải:

Cho dãy số (un) ở dạng phương pháp truy hồi, biết (un) có giới hạn hữu hạn

Giả sử lim un = a (a là số thực) thì lim un+1 = a.

Thay a vào cách làm truy hồi. Giải phương trình search a.

Ta được giới hạn của (un) là lim un = a.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: tìm kiếm lim un biết (un) có số lượng giới hạn hữu hạn vàun:u1=1un+1=2un+3un+2,  n∈ℕ*

Lời giải

Giả sử lim un = a, khi ấy lim un+1 = a

Suy raa=2a+3a+2⇒a2+2a=2a+3⇔a2=3⇔a=±3

Do u1=1>0,un+1=2un+3un+2>0  ∀n∈ℕ* nêna>0⇒a=3

Vậy limun=3.

Ví dụ 2: search lim un biết (un) có giới hạn hữu hạn với un:u1=2un+1=2+un,  n∈ℕ*.

Lời giải

Vìu1=2>0; un+1=2+un>0

Giả sử lim un = a (a > 0), khi đó lim un+1 = a

Suy ra a=2+a⇔a2=a+2

⇔a2−a−2=0⇔a=−1   (Loại)a=2  

Vậy lim un = 2.

Dạng 8: số lượng giới hạn của tổng vô hạn hoặc tích vô hạn

Phương pháp giải:

* Rút gọn gàng (un) (sử dụng tổng cấp cho số cộng, cung cấp số nhân hoặc phương thức làm trội)

* Rồi tra cứu lim un theo định lí hoặc sử dụng nguyên lí định lí kẹp.

* Định lí kẹp: Cho ba dãy số (vn); (un) cùng (wn): Nếuvn≤un≤wn,  ∀n∈N*limvn=limwn=a thì lim un = a

Hệ quả: đến hai hàng số (un) cùng (vn): giả dụ un≤vn,  ∀n∈N*limvn=0thì lim un = 0.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

a)lim11.3+13.5+...+12n−12n+1

b)lim1+2+3+4+...+n1+3+32+33+...+3n.n+1

Lời giải

b)L=lim1+2+3+4+...+n1+3+32+33+...+3n.n+1

Xét tử số: Ta thấy 1; 2; 3; 4; … ; n là 1 trong những dãy số chân tay số cộng tất cả n số hạng với u1 = 1 cùng d = 1.

Tổng n số hạng của cấp cho số cộng:Sn=u1+unn2=1+nn2.

Xét chủng loại số: Ta thấy 1; 3; 32; 33; …; 3n là 1 dãy số chân tay số nhân bao gồm (n+1) số hạng với u1 = 1 với q = 3.

Tổng (n + 1) số hạng của cấp số nhân:Sn+1=u1.1−qn+11−q=1−3n+11−3=3n+1−12.

Khi đó:L=lim1+nn23n+1−12.(n+1)=limn3n+1−1

Vì n3n+1−1=n3.3n−1n3n2n3n=23n vàlim23n=0

NênL=limn3n+1−1=0

(Bằng quy nạp ta luôn có n2n, ∀n∈ℕ*và 3n>1, ∀n∈ℕ*⇒3n+1−3n=2.3n>2>1⇒3n+1−1>3n).

Ví dụ 2: Tính giới hạn sau:lim12⋅34⋅56⋅⋅⋅2n−12n

Lời giải

Dạng 9: Tổng cấp cho số nhân lùi vô hạn

Phương pháp giải:

Tổng của cung cấp số nhân lùi vô hạn là:S=u1+u1q+u1q2+....=u11−q   q1

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính tổng

a)S=1+12+14+18+…

b)S=1+0,9+0,92+0,93+…

Lời giải

a) S=1+12+14+18+…là tổng cấp cho số nhân lùi vô hạn cùng với u1 = 1 cùng q=12.

Nên S=1+12+14+18+…=11−12=2.

b) S=1+0,9+0,92+0,93+…là cấp cho số nhân lùi vô hạn với u1 = 1 với q = 0,9.

Nên S=1+0,9+0,92+0,93+…=11−0,9=10.

Ví dụ 2: Biểu diễn những số thập phân vô hạn tuần trả ra phân số:

a) a = 0,32111...

b) b = 2,151515...

Lời giải

a) Ta cóa=0,32111...=32100+1103+1104+1105+...

Vì 1103+1104+1105+... Là tổng của cung cấp số nhân lùi vô hạn với u1=1103vàq=110

Nên b=32100+11031−110=289900.

b) Ta cób=2,151515...=2+15100+151002+151003+...

Vì 15100+151002+151003+... Là tổng của cung cấp số nhân lùi vô hạn với u1=15100vàq=1100

Nên b=2+151001−1100=7133.

3. Bài xích tập trường đoản cú luyện

Câu 1. trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai?

A. Lim1n3=0.

B. Lim−1nn2=0.

C. Lim1n3=−1.

D. Lim1n=0.

Câu 2. hàng số nào sau đây có số lượng giới hạn bằng 0?

A. 43n.

B. −43n.

C. −53n.

D. 13n.

Câu 3. dãy số nào sau đây có số lượng giới hạn bằng 0?

A. Limn2−2n5n+5n2.

B. Lim1−2n5n+5.

C. Lim1−2n25n+5.

D. Lim1−2n5n+5n2.

Xem thêm: Cách Đăng Ký Liên Minh Huyền Thoại, Tạo Nick Lmht Trên Máy Tính

Câu 4. Tính giới hạn limsinn!n2+1bằng

A. 0.

B. 1.

C. +∞.

D. 2.

Câu 5. mang lại dãy số (un) cùng với un=1+3+5+...+2n−13n2+4. Khi đó lim un bằng

A. 13.

B. 0.

C. 23.

D. 1.

Câu 6. đến dãy số (un) với un=11.2+12.3+....+1nn+1. Khi ấy lim un bằng

A. 2.

B. 1.

C. 32.

D. Không có giới hạn.

Câu 7. Tính limn−8n3+3n+23bằng:

A. +∞.

B. -∞.

C. -1.

D. 0.

Câu 8. Tính limn+4n2−n33bằng:

A. -43.

B. +∞.

C. 43.

D. -4.

Câu 9. Tính lim3n−2.5n7+3.5nbằng:

A. 23.

B. -16.

C. 17.

D. -23.

Câu 10. trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là 0?

A. Lim2n+31−2n.

B. Lim2n+1n−32n−2n3.

C. Lim1−2n2n2+2n.

D. Lim2n+13.2n−3n.

Xem thêm: Những Lời Chúc Buổi Tối Hay Nhất Cho Người Yêu, Bạn Bè, +666 Lời Chúc Buổi Tối Vui Vẻ Và Lãng Mạn Nhất

Câu 11. mang lại dãy số (un) được khẳng định bởi u1=1, un+1=22un+1un+3với đều n≥1. Biết hàng số (un) có giới hạn hữu hạn, lim un bằng: